Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sqrt[3]{3 x+2}-2}{x-2} & \text { khi } x>2 \\ a^{2} x+\frac{1}{4} & \text { khi } x \leq 2 \end{array} \text { liên tục tại } x=2\right.\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiYêu cầu bài toán tương đương \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2) . \quad(*)\)
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(2) = 2{a^2} - \frac{7}{4}}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} - 2}}{{x - 2}} = \frac{1}{4}}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{a^2}x + \frac{1}{4}} \right) = 2{a^2} - \frac{7}{4}} \end{array}} \right.\)
Khi đó \((*) \Leftrightarrow a = \pm 1 \Rightarrow {a_{\max }} = 1.\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm già trị của m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}+x-2}{x-1} & \text { nếu } & x \neq 1 \\ m & \text { nếu } & x=1 \end{array}\right.\) liên tục tại x = 1.
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}+5 x+6}\).Khi đó hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-5 x+6}{2 x^{3}-16} & \text { khi } x<2 \\ 2-x & \text { khi } x \geq 2 \end{array}\right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
-
Giới hạn dãy số \(\left(u_{n}\right) \text { với } u_{n}=\frac{3 n-n^{4}}{4 n-5}\) là:
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x+1)^{2} & , x>1 \\ x^{2}+3 & , x<1 \\ k^{2} & , x=1 \end{array}\right.\). Tìm k để \(f(x)\) gián đoạn tại x=1
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} + 2x{\rm{ \ khi \ }}x > 2\\ {x^2} - x + 3{\rm{ \ khi \ }}x \le 2 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-x-2}{x-2} & \text { khi } x \neq 2 \\ m & \text { khi } x=2 \end{array} \text { liên tục tại } x=2\right.\).
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^{3}-1} & \text { nếu } & x>1 \\ m x+2 & \text { nếu } & x \leq 1 \end{array} .\right.\). Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 .
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\; = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\;\;\;\;x > - 2}\\
{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = - 2}
\end{array}} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:(I) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = 0\)
(II) f(x) liên tục tại x = - 2
(III) f(x)gián đoạn tại x = - 2
-
Phương trình xcosx−x2+1=0 có nghiệm thuộc khoảng nào?
-
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x - 5\;,\,\,\,x \le - 2}\\
{ax - 1,\,\,\,x > - 2}
\end{array}} \right.\)Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại x = - 2?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\; = \sqrt {{x^2} - 4} \). Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2.
(II) f(x) gián đoạn tại x = 2
(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].
-
Giá trị của \(\lim \frac{\sqrt{n+1}}{n+2}\) bằng:
-
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:
-
Hàm số y=f(x) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
-
Biết rằng \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ a & \text { khi } x=1 \end{array}\right.\) liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\) (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a là đúng?
-
Phương trình nào sau đây vô nghiệm ?
-
Cho hàm số y = f( x) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{3-\sqrt{9-x}}{x} & , 0<x<9 \\ m & , x=0 \\ \frac{3}{x} & , x \geq 9 \end{array}\right.\). Tìm m để f(x) liên tục trên \([0 ;+\infty)\) là?
-
Tìm m để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}{\rm{ \ khi \ }}x > 0\\ 2{x^2} + 3m + 1{\rm{ \ khi \ }}x \le 0 \end{array} \right.\) liên tục trên R.
