Tập nghiệm của bất phương trình \((1+\sqrt{10})^{\log _{3} x}+\frac{2}{3}(-1+\sqrt{10})^{\log _{3} x} \geq \frac{5}{3} \cdot x\,\,\,(1)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=(0 ;+\infty)\)
Ta có: \((1) \Leftrightarrow(1+\sqrt{10})^{\log _{3} x}+\frac{2}{3} \cdot(-1+\sqrt{10})^{\log _{3} x} \geq \frac{5}{3} \cdot 3^{\log _{3} x}(2)\)
Đặt \(t=\log _{3} x, t \in \mathbb{R}\) ta được
\((2) \Leftrightarrow(1+\sqrt{10})^{t}+\frac{2}{3} \cdot(-1+\sqrt{10})^{t} \geq \frac{5}{3} \cdot 3^{t} \Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)^{t}+\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{-1+\sqrt{10}}{3}\right)^{t}\geq \frac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)^{t}+\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{-1+\sqrt{10}}{3}\right)^{t}-\frac{5}{3} \geq 0(3)\)
Đặt \(u=\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)^{t}, u>0\) ta được
\((3) \Leftrightarrow u+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{u}-\frac{5}{3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3 u} \cdot\left(3 u^{2}+2 u-5\right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow 3 u^{2}+2 u-5 \geq 0 \Leftrightarrow u \in\left(-\infty,-\frac{5}{3}\right] \cup[1 ;+\infty)\)
Vì u>0 nên \(u \in[1 ;+\infty) \Leftrightarrow u \geq 1 \Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{10}}{3}\right)^{t} \geq 1 \Leftrightarrow t \geq 0 \Leftrightarrow \log _{3} x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(T=[1 ;+\infty)\)
