So sánh \( \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2};{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\), với a≥0,b≥0,n∈N∗ ta được:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới n = 1 ta có \( \frac{{a + b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}\), do đó loại đáp án A.
Với n = 2, chọn bất kì a = 1, b = 2 ta có: \(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} = \frac{{{1^2} + {2^2}}}{2} = \frac{5}{2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} = {\left( {\frac{{1 + 2}}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} > {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n} \Rightarrow \) Đáp án A sai.
Ta chứng minh đáp án C đúng với mọi a≥0,b≥0,n∈N∗ bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1 mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng đến n=k \( \left( {k \ge 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^k}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
Ta phải chứng minh \( \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)
Thật vậy, ta nhân 2 vế của (1) với \( \frac{{a + b}}{2} > 0\) ta có:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2}\frac{{a + b}}{2} \ge {{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)}^k}\frac{{a + b}}{2} = {{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)}^{k + 1}}}\\ {}&{ \Leftrightarrow \frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \ge {{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)}^{k + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)} \end{array}\)
Do a≥0,b≥0. Nếu \( a \ge b \ge 0 \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\), nếu
\(\begin{array}{l} 0 \le a \le b \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{ \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall a \ge 0,b \ge 0}\\ {}&{ \Rightarrow {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} \ge {a^k}b + a{b^k} \Rightarrow \frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \le \frac{{{a^{k + 1}} + {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{4} = \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}} \end{array} \end{array}\)
Từ (2) suy ra \( \frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\), do đó mệnh đề đúng đến n = k + 1.
Vậy mệnh đề đúng với mọi n, a, b thỏa mãn điều kiện bài toán.
