Phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt
Phương trình trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0\) (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t2 > t1 > 0 .
Khi đó PT (2) có bốn nghiệm là: \( - \sqrt {{t_2}} ; - \sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_2}} \)
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} }\\
{ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} }
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} }\\
{ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}}
\end{array}\)
Theo định lý viet thì :
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\
{{t_1}{t_2} = 2m + 1}
\end{array}} \right.\\
\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)\,}\\
{{t_1}9{t_1} = 2m + 1}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)}\\
{9t_1^2 = 2m + 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)}
\end{array}} \right.}
\end{array}
\end{array}\)
Từ (*) suy ra: \(5{t_1} = \,\,m + 1 \Leftrightarrow m = 5{t_1} - 1\) thay vào (**) ta được:
Vậy m = 4 hoặc là những giá trị cần tìm
