Phương trình \((3+\sqrt{5})^{x}+(3-\sqrt{5})^{x}=3.2^{x}\) có tổng các nghiệm là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
\((3+\sqrt{5})^{x}+(3-\sqrt{5})^{x}=3.2^{x} \Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{x}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{x}=3\)
Ta có: \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=1 \Rightarrow\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{x}=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{-x}\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{x}<0 \Rightarrow\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{1}{t}\)
Phương trình trên trở thành \(t+\frac{1}{t}=3 \Leftrightarrow t^{2}-3 t+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ t=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.\right.\right.\)
Vậy tổng các nghiệm là 0
