Nghiệm của phương trình \(\tan ^{3}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\tan x-1(1)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK:\(\left\{\begin{array} { l } { \operatorname { s i n } ( \frac { \pi } { 4 } - x ) \operatorname { c o s } ( \frac { \pi } { 4 } - x ) \neq 0 } \\ { \operatorname { s i n } ( \frac { \pi } { 4 } + x ) \operatorname { c o s } ( \frac { \pi } { 4 } + x ) \neq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \sin \left(\frac{\pi}{4}-2 x\right) \neq 0 \\ \sin \left(\frac{\pi}{4}+2 x\right) \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \cos 2 x \neq 0\right.\right.\)
\(\begin{aligned} &\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x} \cdot \frac{1+\tan x}{1-\tan x}=1 \\ &(1) \Leftrightarrow \sin ^{4} 2 x+\cos ^{4} 2 x=\cos ^{4} 4 x \Leftrightarrow 1-2 \sin ^{2} 2 x \cos ^{2} 2 x=\cos ^{4} 4 x \\ &\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 4 x=\cos ^{4} 4 x \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\left(1-\cos ^{2} 4 x\right)=\cos ^{4} 4 x \\ &\Leftrightarrow 2 \cos ^{4} 4 x-\cos ^{2} 4 x-1=0 \Leftrightarrow \cos ^{2} 4 x=1 \\ &\Leftrightarrow 1-\cos ^{2} 4 x=0 \Leftrightarrow \sin 4 x=0 \Leftrightarrow x=k \frac{\pi}{4} \end{aligned}\)
\(\text { Vậy phương trình có nghiệm: } x=k \frac{\pi}{2}\)
