Một mạch điện thu sóng vô tuyến gồm một cuộn cảm có L = 2 μH và hai tụ có điện dung C₁, C₂ (C₁ ˃ C₂). Biết bước sóng vô tuyến thu được khi hai tụ mắc nối tiếp và song song lần lượt là \({{\lambda }_{nt}}=1,2\sqrt{6}\pi \text{ m}\) và λ_ss = 6.p m. Điện dung của các tụ chỉ có thể là

A. C₁ =30 pF và C₂ = 10 pF.

B. C₁ =20 pF và C₂ = 10 pF.

C. C₁ =30 pF và C₂ = 20 pF.

D. C₁ =40 pF và C₂ = 20 pF.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Vật Lý Lớp 12

Chủ đề: Dao động và sóng điện từ

Bài: Mạch dao động

Lời giải:

Báo sai

Khi mắc hai tụ điện nối tiếp, ta có \(\frac{1}{C}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}}.\)

Bước sóng của sóng thu được

\(\lambda =6\pi {{.10}^{8}}\sqrt{LC}\Rightarrow \frac{1}{{{\lambda }^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}LC}=\frac{1}{{{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}L}\left( \frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}} \right)=\frac{1}{\lambda _{1}^{2}}+\frac{1}{\lambda _{2}^{2}}.\) (1)

Khi mắc hai tụ điện nối tiếp, ta có C’ = C₁ + C₂.

Bước sóng của sóng thu được

\(\lambda '=6\pi {{.10}^{8}}\sqrt{LC'}\Rightarrow {{\lambda }^{2}}={{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}LC={{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}L\left( {{C}_{1}}+{{C}_{2}} \right)=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}.\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:\({\lambda ^2} - {\left( {6\pi } \right)^2}\lambda + {\left( {7,2\sqrt 6 {\pi ^2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1^2 = 21,6{\pi ^2}\\ \lambda _2^2 = 14,4{\pi ^2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1^{} = \frac{{6\sqrt {15} \pi }}{5}{\rm{ m}}\\ \lambda _2^{} = \frac{{6\sqrt {10} \pi }}{5}{\rm{ m}} \end{array} \right..\)

Vậy \(\lambda _{1}^{2},\text{ }\lambda _{2}^{2}\) là nghiệm của phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} {C_1} = \frac{{\lambda _1^2}}{{{{\left( {6\pi {{.10}^8}} \right)}^2}L}} = \frac{{21,6{\pi ^2}}}{{{{\left( {6\pi {{.10}^8}} \right)}^2}{{.2.10}^{ - 6}}}} = {3.10^{ - 11}}{\rm{ }}F = 30{\rm{ }}pF\\ {C_2} = \frac{{\lambda _2^2}}{{{{\left( {6\pi {{.10}^8}} \right)}^2}L}} = \frac{{14,4{\pi ^2}}}{{{{\left( {6\pi {{.10}^8}} \right)}^2}{{.2.10}^{ - 6}}}} = {2.10^{ - 11}}{\rm{ }}F = 20{\rm{ }}pF \end{array} \right..\) (λ₁ > λ₂ vì C₁ > C₂)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{C}_{1}}=\frac{\lambda _{1}^{2}}{{{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}L}=\frac{21,6{{\pi }^{2}}}{{{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}{{.2.10}^{-6}}}={{3.10}^{-11}}\text{ }F=30\text{ }pF \\ & {{C}_{2}}=\frac{\lambda _{2}^{2}}{{{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}L}=\frac{14,4{{\pi }^{2}}}{{{\left( 6\pi {{.10}^{8}} \right)}^{2}}{{.2.10}^{-6}}}={{2.10}^{-11}}\text{ }F=20\text{ }pF \\ \end{align} \right..\)