Gọi ak là hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển (1+2x)n. Tìm n sao cho \( {a_1} + 2\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} + 3\frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} + ... + n\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = 72.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( {(1 + 2x)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{(2x)^k} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {2^k}C_n^k{x^k} \Rightarrow {a_k} = {2^k}C_n^k.\)
Do đó:
\( k\frac{{{a_k}}}{{{a_{k - 1}}}} = k\frac{{{2^k}C_n^k}}{{{2^{k - 1}}C_n^{k - 1}}} = 2k.\frac{{\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}}}{{\frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k + 1)!}}}} = 2k.\frac{{\frac{1}{k}}}{{\frac{1}{{n - k + 1}}}} = 2(n - k + 1).\)
Do đó theo giả thiết có:
\(\begin{array}{l} S = {a_1} + 2.\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} + 3.\frac{{{a_3}}}{{{a_2}}} + ....... + n.\frac{{{a_n}}}{{{a_{n - 1}}}} = 72\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{k - 1}^n {k\frac{{{a_k}}}{{{a_{k - 1}}}} = \sum\limits_{k - 1}^n {2(n - k + 1)} .} \\ \Leftrightarrow 2n(n + 1) - 2n\sum\limits_k^n k = 72\\ \Leftrightarrow 2n(n + 1) - 2(1 + 2 + ... + n) \Leftrightarrow 2n(n + 1) - n(n + 1) = 72\\ (do1 + 2 + .... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2})\\ \Leftrightarrow 2{n^2} + 2n - {n^2} - n = 72\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 72 = 0 \to \left[ \begin{array}{l} n = 8\\ n = - 9 \end{array} \right. \end{array}\)
