Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng \(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x;g\left( x \right) = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos 2x - 5\sin x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x - 5\sin x = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = \cos 2x - 3{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + 3{\cos ^2}x = {\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = - 2{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = - 2 - 2{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0. \cr} \)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) ta có phương trình \(2{t^2} + 5t + 2 = 0.\)
Giải phương trình \(t = - {1 \over 2}\) ta được (loại t = -2 ).
\(\eqalign{
& \sin x = - {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
