Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = \left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right|\) và \({z^2}\) là số thuần ảo
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi số phức z = a + bi, \(a,b \in \mathbb{R}\).
Ta có \({\left| z \right|^2} = \left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \left| {2a} \right| + \left| {2bi} \right|\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| a \right| + 2\left| b \right|\,\,\left( 1 \right)\).
Lại có \({z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi\) là số thuần ảo, suy ra \({a^2} – {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b\)
Trường hợp 1 : a = b thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\( \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| a \right| = 0\\\left| a \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a = b = \pm 2\end{array} \right.\).
Trường hợp 2 : a = – b thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\( \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| a \right| = 0\\\left| a \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \mp 2\end{array} \right.\).
Vậy có 5 số phức thỏa mãn bài toán là \(z = 0, z = 2 \pm 2i, z = – 2 \pm 2i\)
