Có bao nhiêu số nguyên \(m \in(-20 ; 20)\) để phương trình \(\log \left(x^{2}+m x+1\right)=\log (x+m\) có hai nghiệm thực phân biệt?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \log \left(x^{2}+m x+1\right)=\log (x+m) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x+m>0 \\ x^{2}+m x+1=x+m(*) \end{array}\right.\\ &(*) \Leftrightarrow m(x-1)=-x^{2}+x-1 \end{aligned}\)
\( \text { Với } x=1 \Rightarrow \text { phương trình vô nghiệm }\)
\(\begin{aligned} &\text { Với } x \neq 1,(*) \Leftrightarrow m=-x-\frac{1}{x-1} \\ &\text { Xét } f(x)=-x-\frac{1}{x-1} ; f^{\prime}(x)=-1+\frac{1}{(x-1)^{2}}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=2 \end{array}\right. \end{aligned}\)
bảng biến thiên
.PNG)
\(\text { Để phương trình } \log \left(x^{2}+m x+1\right)=\log (x+m) \text { có hai nghiệm thực phân biệt thì }\)
\(\left\{\begin{array}{l} x>-m \\ {\left[\begin{array}{l} m>1 \\ m<-3 \end{array}\right.} \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x>x+\frac{1}{x-1} \\ {\left[\begin{array}{l} m>1 \\ m<-3 \end{array}\right.} \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x<1 \\ {\left[\begin{array}{l} m>1 \\ m<-3 \end{array}\right.} \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m>-1 \\ {\left[\begin{array}{l} m>1 \\ m<-3 \end{array} \Leftrightarrow m>1\right.} \end{array}\right.\)
\(\text { Vậy có } 18 \text { giá trị của } m \in(-20 ; 20) \text { để phương trình } \log \left(x^{2}+m x+1\right)=\log (x+m) \text { có hai nghiệm thực phân biệt}\)
