Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(\leq y \leq 100\) và \(x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0 \Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}-27 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0\\ &\Leftrightarrow x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}+8 y^{3}+3 x^{2}+6 y=27 y^{3}+9 y\\ &\Leftrightarrow\left(x^{2}+2 y\right)^{3}+3\left(x^{2}+2 y\right)=(3 y)^{3}+3.3 y \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét hàm } f(t)=t^{3}+3 t \text { . Ta có } f^{\prime}(t)=3 t^{2}+3>0, \forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f(t) \text { là hàm đồng biến trên } \mathbb{R} \text { . }\\ &\text { Vì vậy, }(2) \Leftrightarrow f\left(x^{2}+2 y\right)=f(3 y) \Leftrightarrow x^{2}+2 y=3 y \Leftrightarrow x^{2}=y \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Theo giả thiết: } 0 \leq y \leq 100 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 100 \Leftrightarrow-10 \leq x \leq 10 \text { . }\)
\(\text { Vì } x \text { nguyên nên } x \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots 0 \ldots 8 ; 9 ; 10\)Với mỗi x xác định duy nhất giá trị \(y=x^{2}\)
Vậy có 21 cặp ( x;y) thỏa mãn bài toán.
