Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn \(\log _{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)+x=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } \log _{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)+x=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y \Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x-1=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y \\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)}-4 \sin ^{2} y \cdot \cos ^{2} y+2 \\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)}-4 \sin ^{2} y \cdot \cos ^{2} y+2\left(\sin ^{2} y+\cos ^{2} y\right)^{2} \\ &\Leftrightarrow \log _{2}(x+1)+x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)}+2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)(2) \\ &\text { Xét hàm số } f(t)=2^{t}+t \Rightarrow f^{\prime}(t)=2^{t} \cdot \ln 2+1>0, \forall t>0 \text { . } \\ &\Rightarrow \text { hàm số } y=f(t) \text { đồng biến }(0 ;+\infty) \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Vì vậy }(2) \Leftrightarrow f\left(\log _{2}(x+1)\right)=f\left(2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)\right) \Leftrightarrow x+1=2^{2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right)} \\ &\text { Ta có: } \sin ^{4} y+\cos ^{4} y=1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 y \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right] \text { nên } 1 \leq 2\left(\sin ^{4} y+\cos ^{4} y\right) \leq 2 \\ &\Rightarrow 2 \leq x+1 \leq 4 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3 . \text { Mà } x \text { là số nguyên dương } \Rightarrow x \in\{1,2,3\} \end{aligned}\)
Vậy có 3 giá trị x thỏa mãn
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(\text { n } 0 \leq x \leq 2020 \text { và } 3^{x+1}+x+1=3^{y}+y\)
-
Biểu đồ bên cho thấy kết quả thống kê sự tăng trưởng về số lượng của một đàn vi khuẩn : cứ sau 12 tiếng thì số lượng của một đàn vi khuẩn tăng lên gấp 2 lần. Số lượng vi khuẩn ban đầu của đàn là 250 con. Công thức nào dưới đây thể hiện sự tăng trưởng về số lượng của đàn vi khuẩn N tại thời điểm t ?
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{x^{2}-3 x}-\frac{9}{4}}\) là
-
Cho hai số thực thỏa mãn \(\log _{2} a+\log _{3} b=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\sqrt{\log _{3} a}+\sqrt{\log _{2} b}\)
-
Cho hàm số \(f(x)=\ln 2018+\ln \left(\frac{x}{x+1}\right) \text { . }\)Tính \(\begin{aligned} S=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018} \end{aligned}\)
-
Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\) là?
-
Hàm số \(y=\left(-3 a^{2}+10 a-2\right)^{x}\) đồng biến trên \((-\infty ;+\infty)\) khi:
-
Cho hai số thực dương a, b nhỏ hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{4 a b}{a+4 b}\right)+\log _{b}(a b)\)
-
Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9 %/ tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6%/ tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác An rút được số tiền xấp xỉ là (biết trong khoảng thời gian này bác An không rút tiền ra):
-
Hàm số \(y=2^{x^{2}-3 x}\) có đạo
-
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?
-
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \(\log _{4} x=\log _{6} y=\log _{9}(x+y) \text { . Giá trị của tỉ số } \frac{x}{y} \text { bằng }\)
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^{2} \ln x\) trên đoạn [1;2]
-
Cho hàm số \(\begin{aligned} f(x)=\ln \frac{x+1}{x+4} \end{aligned}\). Tính giá trị của biểu thức \(\begin{aligned} P=f^{\prime}(0)+f^{\prime}(3)+f^{\prime}(6)+\ldots+f^{\prime}(2019) \end{aligned}\)
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{x^{2}+3}-x \ln x\) trên đoạn [1;2]. Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là
-
Cho hai số thực a b , thay đổi thỏa mãn a>b> 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+3 \log _{b}\left(\frac{b}{a}\right)\)
-
Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau.
-
Đạo hàm của hàm số \(f(x)=\log _{2} \mid x^{2}-2 x|\) là
-
Hàm số \(y=x e^{-3 x}\) đạt cực đại tại
-
Lãi suất gửi tiết kiệm của ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bà Lam gửi số tiền là 10 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng, được một thời gian thì lãi suất tăng lên 1%/tháng trong vòng một quý (3 tháng) và sau đó lãi suất lại thay đổi xuống còn 0,6%/ tháng. Bà Lam tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi rút cả vốn lẫn lãi được 10808065,48 (đồng). Hỏi bà Lam gửi tổng là bao nhiêu tháng? (Biết rằng kỳ hạn là một tháng, và bà Lam gửi theo hình thức tiền lãi của mỗi tháng được cộng vào tiền gốc của tháng sau).
