Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi O là hình chiếu của D lên mp(ABC)
O là trọng tâm của tam giác đều ABC. Mặt phẳng trung trực của đọan AD cắt AD tại E và cắt DO tại K.
Ta có KD = KA = KB = KC nên K là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều vì :
\(\begin{array}{l} \mathrm{d}(\mathrm{K},(\mathrm{DAB}))=\mathrm{d}(\mathrm{K},(\mathrm{DBC}))=\mathrm{d}(\mathrm{K},(\mathrm{DAC})) \\ =\mathrm{d}(\mathrm{K},(\mathrm{ABC}))=\mathrm{OK} \end{array}\)
\(\text { Ta có }: A O=\frac{2}{3} A I=\frac{a \sqrt{3}}{3}, O D=\sqrt{D A^{2}-A O^{2}}=\frac{a \sqrt{6}}{3}\)
\(\text{Vi } \Delta \mathrm{DEK} \text { đồng dạng } \Delta \mathrm{DOA} \text { ta có }:\\ \frac{\mathrm{DK}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DO}}=\frac{\mathrm{a}}{2}: \frac{\mathrm{a} \sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{4} \Rightarrow \mathrm{DK}=\frac{\mathrm{a} \sqrt{6}}{4}\)
\(\text { Vậy OK = OD - DK = } \frac{a \sqrt{6}}{3}-\frac{a \sqrt{6}}{4}=\frac{a \sqrt{6}}{12}\)
