Cho tam giác ABC thỏa mãn: \(\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}B}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B}} = \frac{1}{2}({\cot ^2}A + {\cot ^2}B)\). Tìm mệnh đề đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}B}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B}} = \frac{1}{2}({\cot ^2}A + {\cot ^2}B)\\ \Leftrightarrow \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}A + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}B + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B}} = \frac{1}{2}({\cot ^2}A + 1 + {\cot ^2}B + 1)\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A}} + \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B}}} \right)\\ \Leftrightarrow {({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B)^2} = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A.{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B\\ \Rightarrow {({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B)^2} = 0 \end{array}\)
Lại có \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}A = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}B\) khi và chỉ khi \({\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}\)
Suy ra tam giác ABC cân tại C.
