Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA. Tọa độ các đỉnh của tam giác ABC:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(A({x_A};{\rm{ }}{y_A}),{\rm{ }}B({x_B};{\rm{ }}{y_B}),{\rm{ }}C({x_C};{\rm{ }}{y_C})\)
Xét tam giác ABC, có:
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ MN//AC hay MN //CP và MN // PA và \(\;MN{\rm{ }} = {\rm{ }}AP{\rm{ }} = {\rm{ }}PC{\rm{ }} = \frac{1}{2}AC\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} \left( {1;2} \right);\overrightarrow {PC} ({x_C}\;-{\rm{ }}5;{\rm{ }}{y_C}\;-{\rm{ }}3)\)
Mà \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} - 5 = 1\\ {y_C} - 3 = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 6\\ {y_C} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow C(6,5)\)
Vì P là trung điểm của AC nên ta có tọa độ P thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_p} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\ {y_p} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 = \frac{{{x_A} + 6}}{2}\\ 3 = \frac{{{y_A} + 5}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_A} = 2.5 - 6 = 4\\ {y_A} = 2.3 - 5 = 1 \end{array} \right. \Rightarrow A(4,1)\)
Vì M là trung điểm của AB nên ta có tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 = \frac{{{x_B} + 4}}{2}\\ 2 = \frac{{{y_B} + 1}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = 2.2 - 4 = 0\\ {y_B} = 2.2 - 5 = 3 \end{array} \right. \Rightarrow B(0,3)\)
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC lần lượt là: A(4; 1), B(0; 3) và C(6; 5).
