Cho \(x>0 ; y>0 \text { và } 2020^{2019\left(x^{2}-y+4\right)}=\frac{4 x+y}{(x+2)^{2}}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=y-2 x ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } 2020^{2019\left(x^{2}-y+4\right)}=\frac{4 x+y}{(x+2)^{2}} \Leftrightarrow 2020^{2019\left[(x+2)^{2}-(4 x+y)\right]}=\frac{4 x+y}{(x+2)^{2}} \Leftrightarrow \frac{2020^{2019(x+2)^{2}}}{2020^{2019(4 x+y)}}=\frac{4 x+y}{(x+2)^{2}}\\ &\Leftrightarrow 2020^{2019(x+2)^{2}}(x+2)^{2}=2020^{2019(4 x+y)}(4 x+y)(1)\\ &\text { Xét hàm số } f(t)=2020^{2019 t} t \text { với } t>0 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta có } f^{\prime}(t)=2020^{2019 t}+2020^{2019 t} t \ln 2020^{2019}>0 \forall t>0 . \\ &\text { Khi đó }(1) \Leftrightarrow(x+2)^{2}=4 x+y \Leftrightarrow y=x^{2}+4 . \end{aligned}\)
\(\text { Nên } P=y-2 x=x^{2}+4-2 x=(x-1)^{2}+3 \geq 3 . \min P=3 \text { khi }\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=5 \end{array}\right. \text { . }\)