Cho số thực dương a, kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4(x−a)ex, trục hoành và trục tung. Gọi V là thể tích của khổi tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành, tìm a biết V = 4π(e2 − 5).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 4(x−a)e2x và trục hoành nghiệm của phương trình 4(x−a)e2x = 0 ⇔ x = a
Do đó
\(\begin{array}{l} V = \pi \mathop \smallint \limits_0^a {y^2}dx = \pi \mathop \smallint \limits_0^a {\left[ {4\left( {x - a} \right){e^x}} \right]^2}dx = 16\pi \mathop \smallint \limits_0^a \left( {{x^2} - 2ax + {a^2}} \right){e^{2x}}dx\\ = 16\pi \left[ {\mathop \smallint \limits_0^a {x^2}{e^{2x}}dx - 2a\mathop \smallint \limits_0^a x{e^{2x}}dx + {a^2}\mathop \smallint \limits_0^a {e^{2x}}dx} \right] \end{array}\)
Tính \({I_1} = \mathop \smallint \limits_0^a {x^2}{e^{2x}}dx:\)
Đặt
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\\ {I_1} = (\frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}})\mid _0^a - \smallint _0^ax{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \smallint _0^ax{e^{2x}}dx \end{array}\)
Đặt
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \smallint _0^ax{e^{2x}}dx = (\frac{1}{2}x{e^{2x}})\mid _0^a - \frac{1}{4}{e^{2x}}\mid _0^a = \frac{1}{2}a{e^{2a}}) - \frac{1}{4}{e^{2a}} + \frac{1}{4} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} V = 16\pi \left[ {\frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \left( {1 + 2a} \right)\left( {\frac{1}{2}a{e^{2a}} - \frac{1}{4}{e^{2a}} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{{a^2}}}{2}\left( {{e^{2a}} - 1} \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{l}} { = 16\pi \left[ {\frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \frac{1}{2}a{e^{2a}} + \frac{1}{4}{e^{2a}} - \frac{1}{4} - {a^2}{e^{2a}} + \frac{1}{2}a{e^{2a}} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}{a^2}{e^{2a}} - \frac{1}{2}{a^2}} \right]}\\ { = 16\pi \left[ {\frac{1}{4}{e^{2a}} - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{4}} \right] = 4\pi \left[ {{e^{2a}} - 2a - 2{a^2} - 1} \right].} \end{array} \end{array}\)
Khi đóTheo giả thiết, \(V = 4\pi \left( {{e^2} - 5} \right)\) tức là a = 1
