Cho nguyên hàm \( I={\smallint \sqrt {1 - {x^2}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\), x thuộc \( \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) , nếu đặt x = sin t thì nguyên hàm I tính theo biến t trở thành:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt
\(\begin{array}{l} x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t{\mkern 1mu} dt\\ 1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t\\ \to \begin{array}{*{20}{l}} {\smallint \sqrt {1 - {x^2}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \smallint \sqrt {{{\cos }^2}t} {\mkern 1mu} \cos t{\mkern 1mu} {\rm{d}}t = \smallint {{\cos }^2}t{\mkern 1mu} {\rm{d}}t = \smallint \frac{{1 + \cos 2t}}{2}{\mkern 1mu} {\rm{d}}t}\\ { = \smallint \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t = \frac{t}{2} + \frac{{\sin 2t}}{4} + C.} \end{array} \end{array}\)
(Vì 
\(
x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0 \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x} = \cos x\))
Vậy \( I = \frac{t}{2} + \frac{{\sin 2t}}{4} + C.\)
