Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\,\,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\,\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\,\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \) lần lượt:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ ,\,\,\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 45^\circ ,\widehat {ACB} = 45^\circ \) hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
\(\begin{array}{l} AC{\rm{ }} = {\rm{ }}BD{\rm{ }} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = AB.AD.\cos \widehat {BAD} = {\rm{ }}a{\rm{ }}.{\rm{ }}a{\rm{ }}.{\rm{ }}cos90^\circ {\rm{ }} = {\rm{ }}0.\\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.cos\widehat {BAC} = a.a\sqrt 2 .cos45^\circ = {a^2}\\ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = \left( { - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CB} = - \left( {\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \right) = - \left( {\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)} \right) = - \left( {CA.CB.\cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {a\sqrt 2 .a.cos45^\circ } \right) = - {a^2} \end{array}\)
Do AC và BD vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \) do đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\)
