Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o, cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) bằng :
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
.png)
Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S.
MP//SO nên \(MP\bot \left( ABCD \right)\), suy ra \(\widehat{MNP}={{60}^{0}}\)
Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét \(PT=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}\)
Dễ thấy \(TN=\frac{a}{4}\), theo định lý Pytago ta tính được \(PN=\frac{a\sqrt{10}}{4}\).
Tam giác MPN vuông tại P có \(MN=\frac{NP}{cos\widehat{MNP}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên \(\frac{CQ}{MC}=\frac{2}{3}\)
Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{QR}{MN}=\frac{CQ}{MC}=\frac{CR}{NC}=\frac{2}{3}\Rightarrow QR=\frac{2}{3}MN=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)
Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo \(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{SR}{OC}=\frac{BR}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow SR=\frac{2}{3}OC=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
\(CA\bot \left( SBD \right),\text{ }SR//CA\Rightarrow SR\bot \left( SBD \right)\), mặt khác QR//MN do đó góc giữa MN với (SBD) là góc giữa QR với (SBD) là góc SQR.
Tam giác SQR vuông tại S có \(cos\widehat{SQR}=\frac{SR}{QR}=\frac{a\sqrt{2}}{3}:\frac{a\sqrt{10}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SC . Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:
-
Trong lăng trụ đều, khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và \(\widehat A = 60^\circ \). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O (O là tâm của ABCD), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = a/2.
M là trung điểm của BC. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SBC) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
-
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) , a là một đường thẳng nằm trên (P). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC (tham khảo hình vẽ bên). Giá trị cô-sin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh CD. Cô-sin của góc giữa AM và BD là
-
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Đường thẳng DE vuông góc?
-
Cho các mệnh đề sau với \((\alpha) \text { và }(\beta)\) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến \(m=(\alpha) \cap(\beta) \) và a, b, c, d là các đường thẳng. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AB = c, AC = b, cạnh bên AA' = h. Mặt phẳng (P) đi qua A' và vuông góc với B'C.Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) có hình:
.png)
-
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét mặt phẳng (A'BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời \(a \bot b\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho \(AM = \frac{{3a}}{4}\). Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là:
-
Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Thiết diện là hình gì?
