Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu của S lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm H sao cho \(2\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \). Góc giữa đường thẳng SB và đáy bằng \({45^0}\). Tính cos góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Không mất tính tổng quát, giả sử đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3.
Từ giả thiết \(2\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow H\) là điểm thuộc đoạn AB và HB = 2HA
\( \Rightarrow HB = 2,\,HA = 1\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SD}}\).
Gọi \(E = HD \cap BC\).
Ta có \(\frac{{DE}}{{HE}} = \frac{{CD}}{{HB}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{DE}}{{HE}} = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(HK \bot SB,\,\,K \in SB\)
Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot HK\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SB\\HK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\).
Góc giữa đường thẳng SB và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(\widehat {SBH} = {45^0}\)
Trong tam giác vuông BHK có \(HK = BH.\sin 45^\circ = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).
Ta có \(SH = BH.\tan 45^\circ = 2\) và \(HD = \sqrt {A{D^2} + A{H^2}} = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \)
\( \Rightarrow SD = \sqrt {S{H^2} + H{D^2}} = \sqrt {14} \)
Do đó, \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SD}} = \frac{3}{2}\frac{{HK}}{{SD}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt {133} }}{{14}}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S ABC . có cạnh \(S A \perp(A B C)\) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
-
Cho một điểm S có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Với hai điểm M và N trong (P) sao cho SM ≤ SN, ta có:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA= SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA’ = a. Gọi N là trung điểm của CC’ và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AP và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC=a . Hình chiếu vuông góc của S lên (A B C) trùng với trung điểm BC . Biết SB=a . Tính số đo của góc giữa SA và (A B C)?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C) \text { và } A B \perp B C .\) . Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là góc nào dưới đây?
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AC ' và mp (A'BCD') . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) cho trước?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên \(AA’ = a\sqrt 3 \). Gọi M là trung điểm của BC và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó \(a \perp(P)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp (ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên AA’ = 2a. Gọi N là trung điểm của BB’ và \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC, có cạnh bên \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SB và đáy là góc nào dưới đây?
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(S A \perp(A B C D)\) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp (SBC) là?
-
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AC và C’D’ bằng:
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SOD là:
.png)
