Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của \(AD \Rightarrow\) tứ giác ABCM là hình vuông \( \Rightarrow MA = MD = MC\), khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD \Rightarrow AC \bot DC\).
Ta có \(\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {CM,\left( {SCD} \right)} \right) \Rightarrow \sin \varphi = \frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{MC}} = \frac{{\frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{AB}}\).
Kẻ \(AH \bot SC\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
Trong tam giác vuông ABC ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2\)
Trong tam giác vuông SAC ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Do đó \(\sin \varphi = \frac{{\frac{1}{2}AH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng CM và \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB. BC, CD đôi một vuông góc.
Đường thẳng AB vuông góc với :
-
Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định C và D là?
-
Cho góc tam diện Sxyz với\(\widehat{x S y}=120^{\circ}, \widehat{y S z}=60^{\circ}, \widehat{z S x}=90^{\circ}\) . 0 Trên các tia \(S x, S y, S z\) lần lượt
lấy các điểm A, B, C sao cho \(S A=S B=S C=a\) . Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc
điểm sau : -
Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
-
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{2}\) . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (A B C).
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Đường thẳng AC ' vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
-
Cho tứ diện SABC thoả mãn \(S A=S B=S C\) . Gọi H là hình chiếu của S lên mp ( ABC) . Đối với \(\Delta A B C\)ta có điểm H là:
-
Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều, \(S A \perp(A B C)\). Gọi ( P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC . Thiết diện của (P) và hình chóp S .ABC là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết \(S A=S C \text { và } S B=S D\) . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng:
-
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. AA’ vuông góc với mặt phẳng.
-
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
Đường thẳng SA vuông góc với
-
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(S A \perp(A B C D)\). Biết \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{3}\) . Tính góc giữa SC và (ABCD)?
-
Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC=a . Hình chiếu vuông góc của S lên (A B C) trùng với trung điểm BC . Biết SB=a . Tính số đo của góc giữa SA và (A B C)?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AC và C’D’ bằng:
.png)
-
Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,\(S A \perp(A B C D) \cdot S A=a \sqrt{6}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa SC và mp ( ABCD) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác vuông cân tại B và \(AC = a\sqrt 2 \) ; cạnh bên AA’ = a. Gọi N là trung điểm của A’C’. Tính góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\).
