Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của \(AD \Rightarrow\) tứ giác ABCM là hình vuông \( \Rightarrow MA = MD = MC\), khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD \Rightarrow AC \bot DC\).
Ta có \(\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {CM,\left( {SCD} \right)} \right) \Rightarrow \sin \varphi = \frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{MC}} = \frac{{\frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{AB}}\).
Kẻ \(AH \bot SC\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
Trong tam giác vuông ABC ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2\)
Trong tam giác vuông SAC ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Do đó \(\sin \varphi = \frac{{\frac{1}{2}AH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó \(a \perp(P)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a.
Đường thẳng SA vuông góc với
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính \({\mathop{\rm Cos}\nolimits} in\) giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\)
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng AC và C’D’ bằng:
.png)
-
Cho hình chóp S ABC . thỏa mãn \(S A=S B=S C\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SBC là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và SA = 2a. Gọi M và N lần lượt là là trung điểm của \(BC,\,SD\). Tính góc giữa đường thẳng MN và \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA= SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(\sqrt 6 \) và cạnh bên bằng 2. Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp \(S \cdot A B C \text { có } S A=S B=S C\) và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ \(S H \perp(A B C), H \in(A B C)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp \(S . A B D C\) , với đáy ABDC là hình bình hành tâm O,\(A D, S A, A B\) đôi một vuông góc \(A D=8, S A=6\). ( P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB . Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. AA’ vuông góc với mặt phẳng.
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc. Đường thẳng AB vuông góc với?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp (SBC) là?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là góc nào dưới đây?
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác vuông cân tại B và \(AC = a\sqrt 2 \) ; cạnh bên AA’ = a. Gọi N là trung điểm của A’C’. Tính góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\).
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy
-
Cho tứ diện ABCD có \(A B=A C \text { và } D B=D C\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
