Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng \((\alpha)\) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC và \(AI = x{\rm{ }}\left( {0 < x < a} \right)\). Thiết diện của hình chóp cắt bởi \((\alpha)\) là hình gì?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right)\\ \left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\ \left( {ABD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MN\parallel BD,I \in MN\)
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l} N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\ \left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\ \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SD \end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( \alpha \right) = NP\parallel SD,P \in SN\)
Thiết diện là tam giác MNP.
Do \(\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SB\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = MP \end{array} \right. \Rightarrow MP\parallel SB\).
Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều.
Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC, tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như hình vẽ.
