Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S, SA = 2a. Mặt bên \(\alpha\) di động và song song với (SAB) đồng thời cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự M, N, P, Q. Biết tứ giác MNPQ ngoại tiếp một đường tròn bán kính r. Tính r?

A. \( r = \frac{{a\sqrt 7 }}{6}\)

B. \( r = \frac{{a\sqrt 7 }}{3}\)

C. \( r = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

D. \( r = \frac{{2a\sqrt 7 }}{3}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 11

Chủ đề: Quan hệ song song trong không gian

Bài: Hai mặt phẳng song song

Lời giải:

Báo sai

Lấy điểm M∈AD, trong (ABCD) qua M kẻ MN // AB (N∈BC). Trong (SAD) qua M kẻ MQ // SA, trong (SBC) qua N kẻ NP // SB.

⇒(MNPQ)//(SAB)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} (MNPQ) \cap (ABCD) = MN\\ (MNPQ) \cap (SCD) = PQ\\ (ABCD) \cap (SCD) = CD \end{array} \right. \Rightarrow MN//PQ//CD\)

⇒ MNPQ là hình thang.

Lại có

\(\begin{array}{l} \widehat {QMN} = \widehat {\left( {MN;MQ} \right)} = \widehat {\left( {AB;AS} \right)} = \widehat {SAB}\\ \widehat {PNM} = \widehat {\left( {NM;NP} \right)} = \widehat {\left( {BA;BS} \right)} = \widehat {SBA}\\ \to \widehat {QMN} = \widehat {PNM} \end{array}\)

Do đó MNPQ là hình thang cân.

Giả sử MNPQ ngoại tiếp được đường tròn tâm I, gọi E và F lần lượt là trung điểm của PQ và MN.

Do MNPQ là hình thang cân nên I∈EF

Kẻ IH⊥MQ;IK⊥NP

Ta có: IE=IF=IH=IK, xét tam giác vuông IPE và IPK có IC chung, IE = IK ⇒ΔIPE=ΔIPK(ch−cgv)⇒EP=KP

Chứng minh tương tự ta có: QE=QH,NK=NF,MH=MF

⇒MN+PQ=MQ+NP=2MQ(∗)

Đặt AM = x (0 < x < a). Theo định lí Ta-let ta có:

\( \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{MQ}}{{SA}} \Rightarrow MQ = \frac{{DM.SA}}{{DA}} = \frac{{\left( {a - x} \right).2a}}{a} = 2\left( {a - x} \right)\)

Ta có : \( \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{PQ}}{a} = \frac{x}{a} \Rightarrow PQ = x\)

Kẻ DR // BC, gọi G=DR∩MN , dễ thấy RB = GN = CD = a.

\( \frac{{MG}}{{AR}} = \frac{{DM}}{{DA}} \Rightarrow MG = \frac{{AR.DM}}{{DA}} = \frac{{2a.\left( {a - x} \right)}}{a} = 2\left( {a - x} \right) \Rightarrow MN = MG + GN = 3a - 2x\)

Thay vào (*) ta có :

\(\begin{array}{l} 3a - 2x + x = 4\left( {a - x} \right) \Leftrightarrow 3a - x = 4a - 4x \Leftrightarrow 3x = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{3}\\ \Rightarrow MN = \frac{{7a}}{3},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MQ = \frac{{4a}}{3};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} PQ = \frac{a}{3} \end{array}\)

Ta có:

\( EF = \sqrt {M{Q^2} - {{\left( {\frac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow r = \frac{1}{2}EF = \frac{{a\sqrt 7 }}{6}.\)