Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (P) di động song song với (SBD) đi qua I trên đoạn OC. Đặt \( AI = x\left( {\frac{a}{2} < x < a} \right)\). Khi đó diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Trong (ABCD) qua I kẻ EF//BD (E∈BC;F∈CD)
Trong (SAC) qua I kẻ IG//SO (G∈SC)
⇒(GEF) qua II và song song với (SBD) ⇒ (P)≡(GEF)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} (GEF) \cap (SBC) = GE\\ (SBD) \cap (SBC) = SB\\ (GEF)//(SBD) \end{array} \right.\)
⇒ GE//SB
Tương tự ta chứng minh được GF//SD.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{IC}}{{OC}} = \frac{{FE}}{{BD}} = \frac{{GC}}{{SC}} = \frac{{GE}}{{SB}} = \frac{{GF}}{{SD}}\\ BS = SB = SD \end{array} \right. \Rightarrow GE = GF = EF \Rightarrow \Delta GEF\) đều và \( \frac{{IC}}{{OC}} = \frac{{EF}}{{BD}} \Rightarrow EF = \frac{{IC}}{{OC}}.BD = \frac{{a - x}}{{\frac{a}{2}}}.b = \frac{{2b\left( {a - x} \right)}}{a}\)
⇒ΔGEF đều cạnh \( \frac{{2(a - x)}}{a}.b\) do đó \( {S_{{\rm{\Delta }}GEF}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2(a - x)}}{a}} \right)}^2}.{b^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\)
Đáp án cần chọn là: C
