Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình bình hành, mặt bên (SAB ) là tam giác vuông tại A, \(SA = a\sqrt3\), SB = 2a. Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM = 2MD. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với (SAB). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} (P)//(SAB)\\ M \in AD,M \in (P) \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (ABCD) = MN\\ (P) \cap (SCD) = PQ \end{array} \right.;MN{\mkern 1mu} //{\mkern 1mu} PQ{\mkern 1mu} //{\mkern 1mu} AB\\ \left\{ \begin{array}{l} (P)//(SAB)\\ M \in AD,M \in (P) \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (SAD) = MQ\\ (P) \cap (SBC) = NP \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} MQ//SA\\ NP//SB \end{array} \right. \end{array}\)
Mà tam giác SAB vuông tại A nên SA⊥AB ⇒MN⊥MQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vuông tại M và Q.
Mặt khác
\(\begin{array}{l} MQ{\mkern 1mu} //{\mkern 1mu} SA \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{DQ}}{{DS}} \Rightarrow MQ = \frac{1}{3}SA;\frac{{DQ}}{{DS}} = \frac{1}{3}\\ PQ{\mkern 1mu} //{\mkern 1mu} CD \Rightarrow \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}AB;AB = \sqrt {S{B^2} - S{A^2}} = a \end{array}\)
Khi đó
\( {S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MQ.\left( {PQ + MN} \right) \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}\frac{{SA}}{3}.\left( {\frac{{2AB}}{3} + AB} \right) \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)
