Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên các cạnh AA', BB', CC' lần lượt lấy ba điểm M, N, P sao cho \( \frac{{MA'}}{{AA'}} = \frac{1}{3};\frac{{NB'}}{{BB'}} = \frac{2}{3};\frac{{C'P}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\). Biết mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD' tại Q . Tính tỉ số \( \frac{{D'Q}}{{DD'}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} (BB\prime C\prime C)//(AA\prime D\prime D)\\ (MNP) \cap (BB\prime C\prime C) = NP\\ (MNP) \cap (AA\prime D\prime D) = MQ \end{array} \right. \Rightarrow NP//MQ\\ \left\{ \begin{array}{l} (AA\prime B\prime B)//(CC\prime D\prime D)\\ (MNP) \cap (AA\prime B\prime B) = MN\\ (MNP) \cap (CC\prime D\prime D) = PQ \end{array} \right. \Rightarrow MN//PQ \end{array}\)
Suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l} BN = \frac{1}{3}BB' = \frac{1}{3}AA'\\ AM = \frac{2}{3}AA' \end{array} \right. \to \frac{{BN}}{{AM}} = \frac{1}{2}\)
Trong mặt phẳng (ABB′A′), gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MN và AB thì BN là đường trung bình của tam giác AME⇒N là trung điểm của đoạn thẳng ME.
Trong mặt phẳng (MNPQ), gọi F là giao điểm của EP và MQ thì NP là đường trung bình của tam giác MEF (vì NP//MQ và N là trung điểm EM)
\( \Rightarrow NP = \frac{1}{2}MF\)
Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành nên NP=MQ⇒Q là trung điểm MF hay \(\frac{{FQ}}{{FM}} = \frac{1}{2}\)
Lại có \(\begin{array}{l} D'Q{\mkern 1mu} //{\mkern 1mu} A'M \Rightarrow \frac{{D'Q}}{{A'M}} = \frac{{FQ}}{{FM}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{D'Q}}{{\frac{1}{3}AA'}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{D'Q}}{{DD'}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{array}\)
