Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay trên các cạnh AB, CD sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\). Cho \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} > 0\) và P là một điểm trên cạnh AC. Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} = k\), lúc này \(MP\parallel BC\) nên \(BC\parallel \left( {MNP} \right)\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l} N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\ BC\parallel \left( {MNP} \right)\\ BC \subset \left( {BCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NQ\parallel BC,Q \in BD\)
.
Thiết diện là tứ giác MPNQ. Xét trường hợp \(\frac{{AP}}{{PC}} \ne k\)
Trong (ABC) gọi \(R = BC \cap MP\)
Trong (BCD) gọi \(Q = NR \cap BD\) thì thiết diện là tứ giác MNPQ.
Gọi \(K = MN \cap PQ\)
Ta có \(\frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{MPNQ}}}} = \frac{{PK}}{{PQ}}\).
Do \(\frac{{AM}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{ND}}\) nên theo định lí Thales đảo thì AC, NM, BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K, Q nên áp dụng định lí Thales ta được
\(\frac{{PK}}{{KQ}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} = k\)
\( \Rightarrow \frac{{PK}}{{PQ}} = \frac{{PK}}{{PK + KQ}} = \frac{{\frac{{PK}}{{KQ}}}}{{\frac{{PK}}{{KQ}} + 1}} = \frac{k}{{k + 1}}\)
