Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D' ) cạnh a . Các điểm M, N, P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB', C'D', DA sao cho \( BM = C'N = DP = \frac{a}{3}\). Tìm diện tích thiết diện (S ) của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Ta có \( \frac{{BM}}{{C'N}} = \frac{{MB'}}{{ND'}} = \frac{{BB'}}{{C'D'}} = 1\), do đó theo định lý ta-let trong không gian thì BC′, MN, B′D′ lần lượt cùng song song (hoặc nằm trong) với một mặt phẳng.
Mà B′D′//(BC′D) và BC′⊂(BC′D) nên ta có MN//(BC′D)
Chứng minh tương tự ta có NP//(BC′D). Do đó (MNP)//(BC′D).
Qua P, kẻ PQ//BD,Q∈AB. Qua N, kẻ NF//C′D,F∈D′D.
Qua M, kẻ ME//BC′,E∈B′C′.
Khi đó ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương là lục giác MENFPQ.
Dễ thấy \( EN = PF = MQ = \frac{{a\sqrt 2 }}{3},NF = PQ = ME = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\) và tam giác BC′D là tam giác đều vì \( BC' = BD = DC' = a\sqrt 2 \)
Do đó
\( \widehat {ENF} = \widehat {NFP} = \widehat {FPQ} = \widehat {PQM} = \widehat {QME} = \widehat {MEN} = {120^ \circ }\)
.PNG)
Kẻ các đường cao EH,PK của các hình thang cân MENF,MQPF ta có:
\(\begin{array}{l} EH = ME\sin {60^0} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {PK = FP\sin {{60}^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}}\\ {MH = ME\cos {{60}^0} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}\\ { \Rightarrow MF = 2MH + EN = 2.\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + \frac{{a\sqrt 2 }}{3} = a\sqrt 2 } \end{array} \end{array}\)
Diện tích hình thang MENF là:
\( {S_1} = \frac{1}{2}\left( {EN + MF} \right).EH = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9}\)
Diện tích hình thang MQPF là:
\( {S_2} = \frac{1}{2}\left( {QP + MF} \right).PK = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2a\sqrt 2 }}{3} + a\sqrt 2 } \right).\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)
Vậy \( {S_{MENFPQ}} = {S_1} + {S_2} = \frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9} + \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}} = \frac{{13{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)
