Cho hàm số \(y=\frac{1}{2-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x} \text { vói } x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) Kết luận nào sau đây là đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ:
Ta thấy \(2-\cos x>0, \forall x \in R \text { và } 1+\cos x>0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\)
Suy ra \(\frac{1}{2-\cos x}\) và \(\frac{1}{1+\cos x}\)
ÁP dụng bất đẳng thức Co si
ta có:
\(\frac{1}{2-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x} \geq \frac{2}{\sqrt{(2-\cos x)(1+\cos x)}}\)
\(\begin{array}{l} \sqrt{(2-\cos x)(1+\cos x)} \leq \frac{2-\cos x+1+\cos x}{2}=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow y \geq \frac{2}{\sqrt{(2-\cos x)(1+\cos x)}} \geq \frac{4}{3} \end{array}\)
Vậy \(\min\limits _{\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)} y=\frac{4}{3}\) đạt được khi \(\frac{1}{2-\cos x}=\frac{1}{1+\cos x}\)
\(\begin{array}{l} \frac{1}{{2 - \cos x}} = \frac{1}{{1 + \cos x}}\\ \Leftrightarrow 1 + \cos x = 2 - \cos x\\ \Leftrightarrow 2\cos x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \end{array}\)
