Cho hàm số \(f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+m^{2}}\)Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho \(f(a)+f(b)=1\) với mọi số thực a, b thỏa mãn \(e^{a+b} \leq e^{2}(a+b-1)\). Tính tích các phần tử của S
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } e^{a+b} \leq e^{2}(a+b-1) \Leftrightarrow e^{a+b-2}-(a+b-2) \leq 1&(1)\\ &\text { Xét hàm số: } f(t)=e^{t}-t \Rightarrow f^{\prime}(t)=e^{t}-1=0 \Leftrightarrow t=0\\ &f^{\prime}(t)>0 \Leftrightarrow t>0 ; f^{\prime}(t)<0 \Leftrightarrow t<0 \Rightarrow \min f(t)=f(0)=1\\ &\Rightarrow f(t) \geq f(0), \forall t \Leftrightarrow e^{t}-t \geq 1 \Leftrightarrow e^{a+b-2}-(a+b-2) \geq 1&(2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Từ }(1),(2) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} e^{a+b-2}-(a+b-2)=1 \\ a+b-2=0 \end{array} \Rightarrow a+b=2\right. \\ &\text { Ta có: } 1=f(a)+f(b)=\frac{9^{a}}{9^{a}+m^{2}}+\frac{9^{b}}{9^{b}+m^{2}}=\frac{2.9^{a+b}+m^{2}\left(9^{a}+9^{b}\right)}{\left(9^{a}+m^{2}\right)\left(9^{b}+m^{2}\right)} \\ &\Rightarrow 2.9^{a+b}+m^{2}\left(9^{a}+9^{b}\right)=9^{a+b}+m^{2}\left(9^{a}+9^{b}\right)+m^{4} \\ &\Leftrightarrow m^{4}=9^{a+b} \Leftrightarrow m^{4}=81 \Leftrightarrow m=\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3 \end{aligned}\)
Do đó tích các phần tử của S bằng −9
