Cho hai số thực số thực a, b thỏa mãn \(a \geq b>1\). Biết rằng \(P=\frac{1}{\log _{a b} a}+\sqrt{\log _{a} \frac{a}{b}}\) đạt giá trị lớn
nhất khi có số thực k sao cho \(b=a^{k}\) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } P=\frac{1}{\log _{a b} a}+\sqrt{\log _{a} \frac{a}{b}}=\log _{a}(a b)+\sqrt{\log _{a} a-\log _{a} b}=1+\log _{a} b+\sqrt{1-\log _{a} b} \text { . }\\ &P=\frac{1}{\log _{a b} a}+\sqrt{\log _{a} \frac{a}{b}}=-\left(\sqrt{1-\log _{a} b}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4} \leq \frac{9}{4} \text { . }\\ &\text { Dấu bằng đạt tại } \sqrt{1-\log _{a} b}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \log _{a} b=\frac{3}{4} \Leftrightarrow b=a^{\frac{3}{4}} \Rightarrow k=\frac{3}{4} \text { . Vậy } \frac{1}{2}<k<1 \text { . } \end{aligned}\)
