Cho hai số thực dương thỏa mãn \(1 \leq x \leq 2 ; 1 \leq y \leq 2\) . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \(P=\frac{x+2 y}{x^{2}+3 y+5}+\frac{y+2 x}{y^{2}+3 x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(1 \leq x \leq 2 ; 1 \leq y \leq 2 \text { nên }(x-1)(x-2) \leq 0\) nghĩa là \(x^{2}+2 \leq 3 x\)
Tương tự:\(y^{2}+2 \leq 3 y\)
Suy ra \(P \geq \frac{x+2 y}{3 x+3 y+3}+\frac{y+2 x}{3 y+3 x+3}+\frac{1}{4(x+y-1)}=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4(x+y-1)}\)
Đặt t=x+y suy ra \(2 \leq t \leq 4\)t .
Xét\(f(t)=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4(t-1)}, \text { với } 2 \leq t \leq 4\)
\(f^{\prime}(t)=\frac{1}{(t+1)^{2}}-\frac{1}{4(t-1)^{2}}\)
Suy ra \(f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=3\)
Mà \(f(2)=\frac{11}{12} ; f(3)=\frac{7}{8} ; f(3)=\frac{53}{60}\) nên \(f(t) \geq f(3)=\frac{7}{8}\) .
Do đó \(P \geq \frac{7}{8}\)
Khi \(x=1, y=2 \text { thì } P=\frac{7}{8}\) . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{7}{8}\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+1\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 2] lần lượt là:
-
Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số trên đoạn [3;4]:
-
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km . Khoảng cách từ B đến A là 4 . Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD , còn đặt dưới đất mất 3000 USD . Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?
-
Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng:
-
Tìm m để hàm số \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzamaabm % aabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maalaaabaGaamyBaiaa % dIhacqGHRaWkcaaI1aaabaGaamiEaiabgkHiTiaad2gaaaaaaa!40E7! f\left( x \right) = \frac{{mx + 5}}{{x - m}}\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] bằng -7.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^{3}-3 x+5\) trên đoạn [0; 2] là:
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{x}\) thỏa \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 8\), với m là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + 5}}{{x – 7}}\) trên đoạn \(\left[ {8;12} \right]\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m\). Tìm m để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\).
.jpg.png)
-
Xét hàm số \(y=\frac{4x-1}{x}\)trên đoạn [-2 ; - 1] . Hãy chọn khẳng định đúng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { – 1;4} \right]\) như sau:
.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn đoạn \(\left[ { – 1;4} \right]\) bằng
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - x - 9}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 4} \right]\)
-
Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{2} \cos x\) trên đoạn \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\).
-
Cho tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái hộp không nắp. Với giá trị nào của x thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất?
-
Hàm số \(y=\tan x+\cot x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3}\right]\) tại điểm có hoành độ là:
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x³ - x² - 8x\) trên đoạn [1;3]
-
Cho hàm số y = x3- 3x+ 1. Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị m > 0, để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D = [m+ 1; m+ 2] luôn bé hơn 3 là:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tất cả các giá trị của m để bất phương trình \(f\left( {\sqrt {x – 1} + 1} \right) \le m\) có nghiệm là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{1}{\cos x}\) trên khoảng \(\left(\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right)\) là:
-
Cho \(x, y \in \mathbb{R} \text { thỏa } \text { mãn } x+y \neq-1\) và \(x^{2}+y^{2}+x y=x+y+1\). Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x y}{x+y+1}\). Tính M+m.
