Cho a , b là các số dương thỏa mãn \( lo{g_9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\frac{{5b - a}}{2}\). Tính giá trị \(\frac{a}{b}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt: \(\begin{array}{l} {\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\frac{{5b - a}}{2} = t\\ \to a = {9^t},b = {16^t},\frac{{5b - a}}{2} = {12^t}\\ \to \frac{{{{5.16}^t} - {9^t}}}{2} = {12^t} \Leftrightarrow {5.16^t} - {2.12^t} - {9^t} = 0\\ \Leftrightarrow 5 - 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} = 0 \end{array}\)
Đặt
\(u = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} > 0 \to 5 - 2u - {u^2} = 0 \Leftrightarrow {u^2} + 2u - 5 = 0 \to \left[ \begin{array}{l} u = - 1 + \sqrt 6 (tm)\\ u = - 1 - \sqrt 6 (ktm) \end{array} \right.\)
Suy ra
\(\begin{array}{l} {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \sqrt 6 - 1\\ \to \frac{a}{b} = \frac{{{9^t}}}{{{{16}^t}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} = {\left( {\sqrt 6 - 1} \right)^2} = 7 - 2\sqrt 6 \end{array}\)
