Biểu thức \(\mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{2} \cdot 3^{2}+\mathrm{C}_{2 n}^{4} \cdot 3^{4}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} 3^{2 n}\) bằng với
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: }(1+x)^{2 n}=\mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{1} x+\mathrm{C}_{2 n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n-1} x^{2 n-1}+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} x^{2 n} \text { . }\)
Cho x=3 ta được
\(\begin{array}{c} 4^{2 n}=\mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{1} 3+\mathrm{C}_{2 n}^{2} 3^{2}+\mathrm{C}_{2 n}^{3} 3^{3}+\mathrm{C}_{2 n}^{4} 3^{4}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} 3^{2 n} (1) \\ \end{array}\)
Lại có:
\((1-x)^{2 n}=\mathrm{C}_{2 n}^{0}-\mathrm{C}_{2 n}^{1} x+\mathrm{C}_{2 n}^{2} x^{2}-\mathrm{C}_{2 n}^{3} x^{3}+\mathrm{C}_{2 n}^{4} x^{4}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n-1} x^{2 n-1}+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} x^{2 n}\)
Thay x=3 ta được
\(2^{2 n}=\mathrm{C}_{2 n}^{0}-\mathrm{C}_{2 n}^{1} \cdot 3+\mathrm{C}_{2 n}^{2} \cdot 3^{2}-\mathrm{C}_{2 n}^{3} \cdot 3^{3}+\mathrm{C}_{2 n}^{4} \cdot 3^{4}-\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} \cdot 3^{2 n}(2)\)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta có:
\(\begin{aligned} & 4^{2 n}+2^{2 n}=2 C_{2 n}^{0}+C_{2 n}^{2} \cdot 3^{2}+C_{2 n}^{4} \cdot 3^{4}+\cdot+C_{2 n}^{2 n} \cdot 3^{2 n} \\ \Leftrightarrow & \frac{2^{4 n}+2^{2 n}}{2}=C_{2 n}^{0}+C_{2 n}^{2} \cdot 3^{2}+C_{2 n}^{4} \cdot 3^{4}+\cdot+C_{2 n}^{2 n} \cdot 3^{2 n} \\ \Leftrightarrow & 2^{4 n-1}+2^{2 n-1}=C_{2 n}^{0}+C_{2 n}^{2} \cdot 3^{2}+C_{2 n}^{4} \cdot 3^{4}+\cdots+C_{2 n}^{2 n} \cdot 3^{2 n} \end{aligned}\)
Hay \(\text { hay } \mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{2} \cdot 3^{2}+\mathrm{C}_{2 n}^{4} \cdot 3^{4}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} 3^{2 n}=2^{2 n-1}\left(2^{2 n}+1\right)\)
