Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: n≥2,n∈N.
Theo như cách dựng được nêu trong phần phương pháp ta có số hình chữ nhật được tạo thành là \( C_n^2\) hình; số tam giác được tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác là \( C_{2n}^3\) tam giác.
Từ giả thiết ta có phương trình:
\(\begin{array}{l} C_{2n}^3 = 20C_n^2 \Leftrightarrow \frac{{(2n)!}}{{3!(2n - 3)!}} = 20\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2n(2n - 1)(2n - 2)(2n - 3)!}}{{6(2n - 3)!}} = \frac{{20n(n - 1)(n - 2)!}}{{2(n - 2)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{n(2n - 1)(2n - 2)}}{3} = 10n(n - 1)\\ \Leftrightarrow 4{n^2} - 6n + 2 = 30n - 30 \Leftrightarrow 4{n^2} - 36n + 32 = 0\\ \to \left[ \begin{array}{l} n = 8\\ n = 1 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy có \( C_8^2 = 28\) hình chữ nhật.
