. Cho n và r là hai số tự nhiên sao cho r ≤n. Thu gon ta được \(\mathrm{C}_{n}^{0} \mathrm{C}_{n}^{r}+\mathrm{C}_{n}^{1} \mathrm{C}_{n}^{r+1}+\mathrm{C}_{n}^{2} \mathrm{C}_{n}^{r+2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n-r} \mathrm{C}_{n}^{n}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{aligned} &\left(\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} \frac{1}{x}+\mathrm{C}_{n}^{2} \frac{1}{x^{2}}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} \frac{1}{x^{n}}\right)\left(\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{r} x^{r}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n}\right) \\ =&\left(1+\frac{1}{x}\right)^{n}(1+x)^{n}=\frac{1}{x^{n}}(1+x)^{2 n} \\ =& \frac{1}{x^{n}}\left(\mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{1} x+\mathrm{C}_{2 n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} x^{2 n}\right) \end{aligned}\)
Đồng nhất hóa hệ số của hạng tử chứa \(x^{\boldsymbol{r}}\) ở hai vế ta được
\(\mathrm{C}_{n}^{0} \mathrm{C}_{n}^{r}+\mathrm{C}_{n}^{1} \mathrm{C}_{n}^{r+1}+\mathrm{C}_{n}^{2} \mathrm{C}_{n}^{r+2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n-r} \mathrm{C}_{n}^{n}=\mathrm{C}_{n+r}^{2 n}=\frac{(2 n) !}{(n-r) ! \cdot(n+r) !}\)
