Cho n là số tự nhiên. Thu gon \(\left(\mathrm{C}_{2 n}^{0}\right)^{2}-\left(\mathrm{C}_{2 n}^{1}\right)^{2}+\left(\mathrm{C}_{2 n}^{2}\right)^{2}-\cdots+\left(\mathrm{C}_{2 n}^{2 n}\right)^{2}\) ta được
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{aligned} (1+x)^{2 n} &=\mathrm{C}_{2 n}^{0}+\mathrm{C}_{2 n}^{1} x+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{n} x^{n}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} x^{2 n} \\ (1-x)^{2 n} &=\mathrm{C}_{2 n}^{0}-\mathrm{C}_{2 n}^{1} x+\cdots+(-1)^{n} \mathrm{C}_{2 n}^{n} x^{n} \pm \cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n} x^{2 n} \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{2 n} \text { trong khai triển của tích }(1+x)^{2 n}(1-x)^{2 n} \text { là }\)
\(\left(\mathrm{C}_{2 n}^{0}\right)^{2}-\left(\mathrm{C}_{2 n}^{1}\right)^{2}+\cdots+(-1)^{n}\left(\mathrm{C}_{2 n}^{n}\right)^{2} \pm \cdots+\left(\mathrm{C}_{2 n}^{2 n}\right)^{2}(1)\)
\(\text { Mặt khác }(1+x)^{2 n}(1-x)^{2 n}=\left(1-x^{2}\right)^{2 n}=\mathrm{C}_{2 n}^{0}-\mathrm{C}_{2 n}^{1} x^{2}+\cdots+(-1)^{n} \mathrm{C}_{2 n}^{n}\left(x^{2}\right)^{n}+\cdots+\mathrm{C}_{2 n}^{2 n}\left(-x^{2}\right)^{2 n}\)
\(\Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{2 n} \text { trong khai triển của }\left(1-x^{2}\right)^{2 n} \text { là }(-1)^{n} \mathrm{C}_{2 n}^{n} \text { . }(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(\mathrm{C}_{2 n}^{0}\right)^{2}-\left(\mathrm{C}_{2 n}^{1}\right)^{2}+\cdots+(-1)^{n}\left(\mathrm{C}_{2 n}^{n}\right)^{2} \pm \cdots+\left(\mathrm{C}_{2 n}^{2 n}\right)^{2}=(-1)^{n} \mathrm{C}_{2 n}^{n}\)
