Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \( \overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\)
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.⇒ d∈{0;5}
TH1: d=0, số cần tìm có dạng \( \overline {abc0}\)
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c⋮3
Ta có các nhóm: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \{ 2;5;8\} \equiv 3(mod2)\\ \{ 9 \equiv 3(mod0)\\ \{ 1;4;7\} \equiv 3(mod1) \end{array} \right.\\ a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\} \end{array}\)
⇒ Có 3! cách chọn.
+) \( a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\)⇒ Có 3! cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có\( 1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn
⇒ Có \( 3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số
TH2: d=5, số cần tìm có dạng \( \overline {abc5} \)
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c+5⋮3, trong đó 5≡3(mod2)
Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l} \{ 0;9\} \equiv 3(mod0)\\ \{ 1;4;7\} \equiv 3(mod1)\\ \{ 2;8\} \equiv 3(mod2) \end{array} \right.\)
+ Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
⇒ Có \( C_3^1.3! - C_1^3.2! = 12\) cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có \(C^1_2.3!−2!=10\) cách chọn.
+ Trong 3 số a,b,ccó 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2
⇒ Có \(C^2_3.C^1_2.3!=36\) cách chọn.
Vậy có tất cả 66+12+10+36=124 số thỏa mãn
