\(\text { Tính giới hạn } I=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos a_{1} x \cos a_{2} x \ldots \cos a_{n} x}{x^{2}}, \text { với } n \in \mathbb{N}^{*} \text {,a là tham số thực. . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos a_{1} x \cos a_{2} x \ldots \cos a_{n} x}{x^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos a_{1} x}{x^{2}}+\cos a_{1} x \cdot \frac{1-\cos a_{2} x}{x^{2}}+\ldots+\cos a_{1} x \cos a_{2} x \ldots \cos a_{n-1} x \cdot \frac{1-\cos a_{n} x}{x^{2}}\right) \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin ^{2} \frac{a_{1} x}{2}}{\left(\frac{a_{1} x}{2}\right)^{2}} \cdot \frac{a_{1}^{2}}{2}+\cos a_{1} x \cdot \frac{\sin ^{2} \frac{a_{2} x}{2}}{\left(\frac{a_{2} x}{2}\right)^{2}} \cdot \frac{a_{2}^{2}}{2}+\ldots+\cos a_{1} x \cos a_{2} x \ldots \cos a_{n-1} x \cdot \frac{\sin ^{2} \frac{a_{n} x}{2}}{\left(\frac{a_{n} x}{2}\right)^{2}} \cdot \frac{a_{n}^{2}}{2}\right] \\ &=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}\right) . \end{aligned}\)
