\(\text { Cho } \log _{a}(b c)=2, \log _{b}(c a)=3 \text { . Tính } S=\log _{c}(a b) \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } x=\log _{c} a, y=\log _{c} b \\ &\text { Ta có } \log _{a}(b c)=2 \Leftrightarrow \log _{a} b+\log _{a} c=2 \Leftrightarrow \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}+\frac{1}{\log _{c} a}=2 \Rightarrow \frac{y}{x}+\frac{1}{x}=2 \end{aligned}\)
\(\log _{b}(c a)=3 \Leftrightarrow \log _{b} c+\log _{b} a=3 \Leftrightarrow \frac{\log _{c} a}{\log _{c} b}+\frac{1}{\log _{c} b}=3 \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{1}{y}=3\)
\(\text { Do đó ta có hệ }\left\{\begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { x } = 2 } \\ { \frac { x + 1 } { y } = 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { y + 1 = 2 x } \\ { x + 1 = 3 y } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=\frac{4}{5} \\ y=\frac{3}{5} \end{array}\right.\right.\right. \text { . }\)
\(\text { Thay vào } S=\log _{c}(a b)=\log _{c} a+\log _{c} b=\frac{7}{5}\)
