\(\text { Cho dãy số }\left\{u_{n}\right\} \text { xác định như sau: }\left\{\begin{array}{l} u_{1}=2020 \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}+5}{2\left(u_{n}+2\right)}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{array}\right.\). Khẳng định nào sau đây sai?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Dễ thấy } u_{n}>0 \text { với mọi } n \in \mathbb{N}^{*} \text {, do đó }\left\{u_{n}\right\} \text { bị chặn dưới. }\\ &\text { Xét } u_{n+1}-u_{n}=\frac{u_{n}^{2}+5}{2\left(u_{n}+2\right)}-u_{n}=\frac{-u_{n}^{2}-4 u_{n}+5}{2\left(u_{n}+2\right)}=\frac{\left(-u_{n}+1\right)\left(u_{n}+5\right)}{2\left(u_{n}+2\right)}\\ &\text { Lại có } u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}+5}{2\left(u_{n}+2\right)}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+2+\frac{9}{u_{n}+2}\right)-2 \geq \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{9}-2=1 \Rightarrow u_{n} \geq 1, \forall n \in \mathbb{N} \text {, } \end{aligned}\)
\(\text { Giả sử } u_{n}=1 \Leftrightarrow \frac{u_{n-1}^{2}+5}{2\left(u_{n-1}+2\right)}=1 \Leftrightarrow u_{n-1}^{2}-2 u_{n-1}+1=0 \Leftrightarrow u_{n-1}=1\), hay mọi số hạng đều bằng 1, vô lý. Vậy \(u_{n}>1, \forall n \in \mathbb{N}\)
\(\text { Do đó } u_{n+1}-u_{n}<0 \forall n \in \mathbb{N}, \text { hay }\left\{u_{n}\right\} \text { là dãy số giảm. }\)
\(\begin{aligned} &\text { + Vì }\left\{u_{n}\right\} \text { là dãy số giảm, bị chặn dưới nên }\left\{u_{n}\right\} \text { có giới hạn hữu hạn. Đặt } \lim u_{n}=a, \text { ta có }\\ &u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}+5}{2\left(u_{n}+2\right)} \Rightarrow a=\frac{a^{2}+5}{2(a+2)} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=1 \\ a=-5(\text { loai }) \end{array} \text {. Vậy } \lim u_{n}=1\right. \text {. Chọn C } \end{aligned}\)
