Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức \(\log _{2} a+\log _{3} a+\log _{5} a=\log _{2} a \cdot \log _{3} a \cdot \log _{5} a ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \left(^{*}\right) \Leftrightarrow \log _{2} a+\log _{3} 2 \cdot \log _{2} a+\log _{5} 2 \cdot \log _{2} a=\log _{2} a \cdot \log _{3} 5 \cdot \log _{5} a \cdot \log _{5} a \\ \Leftrightarrow \log _{2} a \cdot\left(1+\log _{3} 2+\log _{5} 2\right)=\log _{2} a \cdot \log _{3} 5 \cdot \log _{5}^{2} a \\ \Leftrightarrow \log _{2} a \cdot\left(1+\log _{3} 2+\log _{5} 2-\log _{3} 5 \cdot \log _{5}^{2} a\right)=0 \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \log _{2} a=0 \\ 1+\log _{3} 2+\log _{5} 2-\log _{3} 5 \cdot \log _{5}^{2} a=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=1 \\ \log _{5} a=\pm \sqrt{\frac{1+\log _{3} 2+\log _{5} 2}{\log _{3} 5}} \end{array}\right.\right. \end{array}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=1 \\ a=5^{ \pm \sqrt{\frac{1+\log _{3} 2+\log _{5} 2}{\log _{3} 5}}} \end{array}\right.\)
Vậy có 3 giá trị của a
