Cho \(\log _{7} 12=x, \log _{12} 24=y \text { và } \log _{54} 168=\frac{a x y+1}{b x y+c x}\), trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(S=a+2 b+3 c\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có: } \log _{54} 168=\frac{\log _{7}(24.7)}{\log _{7} 54}=\frac{\log _{7} 24+1}{\log _{7} 54}=\frac{\log _{7} 12 \log _{12} 24+1}{\log _{7} 54} \\ =\frac{\log _{7} 12 \log _{12} 24+1}{\log _{7} 12 \log _{12} 54}=\frac{x y+1}{x \cdot \log _{12} 54} \\ \text { Tính } \log _{12} 54=\log _{12}(27.2)=3 \log _{12} 3+\log _{12} 2=3 \log _{12} \frac{3.2 \cdot 12.24}{2.12 .24}+\log _{12} \frac{24}{12} \\ =3 \log _{12} \frac{12^{3}}{24^{2}}+\log _{12} \frac{24}{12}=3\left(3-2 \log _{12} 24\right)+\left(\log _{12} 24-1\right)=8-5 \log _{12} 24=8-5 y \\ \text { Do đó } \log _{54} 168=\frac{x y+1}{x(8-5 y)}=\frac{x y+1}{-5 x y+8 x} \\ \text { Vậy }\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=-5 \Rightarrow S=a+2 b+3 c=15 \\ c=8 \end{array}\right. \end{array}\)
