. Cho k, n, m và p là bốn số tự nhiên. Thu gọn \(\mathrm{C}_{n}^{0} \mathrm{C}_{m}^{p}+\mathrm{C}_{n}^{1} \mathrm{C}_{m}^{p-1}+\mathrm{C}_{n}^{2} \mathrm{C}_{m}^{p-2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{p} \mathrm{C}_{m}^{k}\) ta được:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{aligned} (1+x)^{n} &=\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n} \\ (1+x)^{m} &=\mathrm{C}_{m}^{0}+\mathrm{C}_{m}^{1} x+\mathrm{C}_{m}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{m}^{m} x^{m} . \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{p} \text { trong khai triển của tích }(1+x)^{n}(1+x)^{m} \text { là } \mathrm{C}_{n}^{0} \mathrm{C}_{m}^{p}+\mathrm{C}_{n}^{1} \mathrm{C}_{m}^{p-1}+\mathrm{C}_{n}^{2} \mathrm{C}_{m}^{p-2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{p} \mathrm{C}_{m}^{0}\)
Mặt khác
\(\begin{aligned} (1+x)^{n}(1+x)^{m} &=(1+x)^{n+m} \\ &=\mathrm{C}_{n+m}^{0}+\mathrm{C}_{n+m}^{1} x+\mathrm{C}_{n+m}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n+m}^{p} x^{p}+\cdots+\mathrm{C}_{n+m}^{n+m} x^{n+m} \end{aligned}\)
\(\Rightarrow \text { Hệ số của hạng tử chứa } x^{p} \text { trong khai triển của }(1+x)^{n+m} \text { là } \mathrm{C}_{n+m}^{p} \text { . }\)
\(\text { Mà hệ số của hạng tử chứa } x^{n} \text { trong tích }(1+x)^{n}(1+x)^{n} \text { cũng chính là hệ số của hạng tử chứa } x^{n} \text { trong khai}\text { triển của }(1+x)^{2 n} \text { nên }\)
\(\mathrm{C}_{n}^{0} \mathrm{C}_{m}^{p}+\mathrm{C}_{n}^{1} \mathrm{C}_{m}^{p-1}+\mathrm{C}_{n}^{2} \mathrm{C}_{m}^{p-2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{p} \mathrm{C}_{m}^{k}=\mathrm{C}_{m+n}^{p}\)
