Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐa giác lồi n đỉnh thì có n cạnh.
Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong n đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.
Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.
Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong n điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của n phần tử.
Như vậy, tổng số đoạn thẳng là \(C_n^2\)
Số cạnh của đa giác lồi là n
Suy ra số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là:
\(C_n^2 - n = \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} - n = \frac{{n.\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 3}\\
{\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 3}\\
{{n^2} - 3n - 270 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow n = 18} \right.} \right.\)
