Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{C}_{n+1}^{m+1}}{\mathrm{C}_{n+1}^{m}}=1 \\ \frac{\mathrm{C}_{n+1}^{m}}{\mathrm{C}_{n+1}^{m-1}}=\frac{5}{3} \end{array}\right.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Điều kiện } m, n \in \mathbb{N}^{*}, m \leq n \text { . }\)
Ta có:
\(\frac{\mathrm{C}_{n+1}^{m+1}}{\mathrm{C}_{n+1}^{m}}=\frac{\frac{(n+1) !}{(m+1) !(n-m) !}}{\frac{(n+1) !}{m !(n+1-m) !}}=\frac{n+1-m}{m+1} ;\)
\(\frac{\mathrm{C}_{n+1}^{m}}{\mathrm{C}_{n+1}^{m-1}}=\frac{\frac{(n+1) !}{m !(n+1-m) !}}{\frac{(n+1) !}{(m-1) !(n+2-m) !}}=\frac{n+2-m}{m} .\)
\(\text { Suy ra }\left\{\begin{array} { l } { \frac { n + 1 - m } { m + 1 } = 1 } \\ { \frac { n + 2 - m } { m } = \frac { 5 } { 3 } } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { n = 2 m } \\ { 3 n - 8 m + 6 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m=3 \\ n=6 \end{array}\right.\right.\right. \text { (thỏa mãn). }\)Vậy m = 3, n = 6 là các giá trị cần tìm.
