. Cho các số nguyên dương r ≤ n. Thu gọn \(\begin{equation} \mathrm{C}_{n-1}^{r-1}+\mathrm{C}_{n-2}^{r-1}+\cdots+\mathrm{C}_{r-1}^{r-1} \end{equation}\) ta được
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo tính chất ta có:
\(\begin{equation} \mathrm{C}_{n}^{r}=\mathrm{C}_{n-1}^{r-1}+\mathrm{C}_{n-1}^{r} \Rightarrow \mathrm{C}_{n-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}-\mathrm{C}_{n-1}^{r} \end{equation}\)
Do đó:
\(\begin{equation} \begin{array}{l} \mathrm{C}_{n-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}-\mathrm{C}_{n-1}^{r} \\ \mathrm{C}_{n-2}^{r-1}=\mathrm{C}_{n-1}^{r}-\mathrm{C}_{n-2}^{r} \\ \mathrm{C}_{n-3}^{r-1}=\mathrm{C}_{n-2}^{r}-\mathrm{C}_{n-3}^{r} \\ \ldots \\ \mathrm{C}_{r}^{r-1}=\mathrm{C}_{r+1}^{r}-\mathrm{C}_{r}^{r} \end{array} \end{equation}\)
Vậy \(\begin{equation} \mathrm{C}_{n-1}^{r-1}+\mathrm{C}_{n-2}^{r-1}+\cdots+\mathrm{C}_{r-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r}-\mathrm{C}_{r}^{r}+\mathrm{C}_{r-1}^{r-1}=\mathrm{C}_{n}^{r} \end{equation}\)
