Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z + 2021 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 2 - 4t \end{array} \right.;{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\). Đường thẳng vuông góc mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 có phương trình là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm
\(\Delta \cap {{d}_{1}}=M\) nên \(M\left( -3+2t;-2-t;-2-4t \right)\)
\(\Delta \cap {{d}_{2}}=N\) nên \(N\left( -1+3u;-1+2u;2+3u \right)\)
\(\overrightarrow{MN}=\left( 2+3u-2t;1+2u+t;4+3u+4t \right)\)
Ta có \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\)
Nên \(\frac{2+3u-2t}{1}=\frac{1+2u+t}{2}=\frac{4+3u+4t}{3}\) ta giải hệ phương trình tìm được \(\left\{ \begin{align} & u=-2 \\ & t=-1 \\ \end{align} \right.\)
Khi đó tọa độ điểm \(M\left( -5;-1;2 \right)\) và VTCP \(\overrightarrow{MN}=\left( -2;-4-6 \right)=-2\left( 1;2;3 \right)\)
Phương trình tham số \(\Delta \) là \(\frac{x+5}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{3}.\)